Cvičení­ z Lineární algebry 2 2008/2009

Zadání cvičení cviko 1 písemka 1 cviko 2 písemka 2 cviko 3 písemka 3 cviko 4 písemka 4 cviko 5 písemka 5 cviko 6 písemka 6 cviko 7 písemka 7 cviko 8 písemka 8 cviko 9 písemka 9 cviko 10 písemka 10

Písemkové skóre

Vysvětlivky

• + OK & aktivita na cvičeních/u tabule
• . OK (písemka dobře nebo už opraveno)
• ! neuspokojivá písemka (nutno náhradní příklady)
• - chyběl (nutno náhradní příklady)
• X státní svátky
• Z zápočet udělen
• Z? zápočet udělen, ale není v indexu

U zadání opravného příkladu máte jen jak má vypadat. Zadání si musíte vymyslet. Není cílem brát ho z nějaké sbírky a už vůbec ne ze zadání na cvičení, pokud tak není výslovně řečeno. Na postupu záleží, samotný výsledek není postačující. V případě nejasností se zeptejte.

• 28.2. Náhodné permutace p,q na 8 prvcích. Najít inverz p, inverz q, sgn(p), sgn(q) a složení pq a qp.
• 6.3. Dva determinanty reálných regulárních (det != 0) matic 5x5, které neosahují > 3 nuly. (Je snažší si matici vymyslet ne náhodně, ale zpětným výpočtem od řešní k zadání.)
• 13.3. Jedna matice 5x5 s alespoň dvěma parametry (a,b), kde parametry jsou i ve výsledku. Vřele doporučuji zadání nebrat náhodnou matici, ale začít s chtěným výsledkem, z něj sestavit zadání a to pak vyřešit. Pro ! poznámka:
  • Nebylo mi jasné, jak z nediagonální matice 4x4 vypočtete determinant z hlavy.
  • Bacha na náledující situaci:

            | a b |                | a     b    |
            | c d |   SE NEROVNÁ   | 2c+a  2d+b |
    
            | a b |                | a     b    |
            | c d |   SE ROVNÁ     | c+2a  d+2b |
    

• 20.3. Pro matici 3x3 spočtěte inverzní pomocí adjugované, vyřešte soustavu třech rovnic o třech neznámých pomocí Cramerova pavidla. Můžete si vybrat, nad jakým tělesem to chcete řešit.
  Pro ! poznámka: Druhý příklad byl správně. Stačí vyřešit příklad na adjugovanou matici.
• 27.3. Jsou dva příklady. První: Zvolte si v rovině tři body a pomocí Lagranegovy metody těmito body proložte polynom. Druhý příklad: Zvolte si nad Z_5 polynom 5. stupně a polynom druhého stupně. (5. stupně obsahuje jako nesvyšší mocninu x^5, druhého x^2) Tyto polynomy se zbytkem vydělte.
  Pro ! poznámka: !2 stačí vypočítat druhý náhradní příklad a naučte se počítat modulo 5. V tomto semestru se to jistě bude hodit. 11/9 = 1/4 = 1*4^{-1} = 1*4 = 4 a nikoli 1.
• 3.4. Tentokráte jsem získal skalpů více, než bych chtěl. V zadání písemky je na druhé straně natexované i její správné řešení. Prosím prostudujte si ho, než budete řešit opravný příklad. Neb těleso R ani Z_5 není algebraicky uzavřené (to znamená, že nelze každý polynom rozložit na součin monomů - viz. x*x + 1 = 0 a zavedení komplexních čísel jako algebraického uzávěru reálných), opravný příklad si nevymýšlejte, ale zadám ho já. Zadání nechte stejné, ale řešte příklad pro matici nad Z_5:

          1 0 0
          2 3 3
          1 1 0
  

  Drobná rada: Nezapomeňte na Z_5 a pokud budete mít problém s hledáním kořenů, stačí prozkoušet všechna čísla 0,1,2,3,4,5 a něco najdete (bez násobnosti, tu musíte určit například tak, že polynom podělíte a pokračujete dál v hledání). Obecně toto nemusí pomoci. Například rovnice x*x = 3 nemá žádné řešení v Z_5. Ale u matice ze zadání tohoto příkladu to projde.
• 10.4. Dobrá zpráva je, že písemka byla jednoduchá a úspěšnost vysoká. Špatná zpráva je, že sestavení zadání prvního příkladu je náročnější. Proto kdo se necítí si zadání sám sestavit může vyřešit to z písemky. Stačí pro matici 4x4. Pro druhý příklad si sestavte zadání matici velkou 6x6 - mšimněte si, jak se příklad řeší a pak podle toho zadání sestavit není težké.
• 17.4. Náhradní příklad za písemku je spočítat pomocí determinantu počet koster grafu, který vznikne z Spojením jednotažkového domečku a grafu K_5 pomocí jedné hrany navíc (most).
  Dejte si pozor, abyste počítali se správnou maticí (stupně na diagonále a při hraně -1) vyškrtli řádek a sloupec. Při základních znalostech o kostrách grafů není potřeba počítat determinanty obřích matic.
• 24.4. Náhradní příklad za písemku spočítat alternativní zadání písemky nebo spočítat normální zadání, ale na vektorech o šesti složkách, kde každá složka je nenula.
• 15.5. Náhradní příklad za písemku spočítat varianty b) a c) v příkladu VII z cvičení 9.

  Všem absolventům cvičení přeji hodně úspěchu u zkošky.